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一类递推数列的通项的简便求法及其推广
2014-04-09 15:29:01   来源:    点击:
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一类递推数列的通项的简便求法及其推广
                 广东梅县东山中学         范立东
 
根据递推关系,求通项公式是高考的热点问题,由于递推数列的题型多样,通项公式的解法又灵活,技巧性高,从而这一内容成为高中生学习的一个难点。本文对形如“ (其中 , c为常数)”的递推数列给出一种学生容易掌握的简便求法,就是构造两个等比数列,从而得两个方程,通过解方程组可迅速求出通项
解法如下:由
可设   (*)
则有   解得
代入(*)式得

是以 为首项, 为公比的等比数列
  ①
代入(*)式得

是以 为首项, 为公比的等比数列
  ②
联立①②式消去 可得

 
1:(2008年广东文科数学高考第21题摘选部分)
     设数列 满足 求数列 的通项公式。
解:依题意,  
  
则有
解得   或
代入 式得
         
 
数列 是首项为 ,公比为1的等比数列。
 
代入 式得
       
数列 是首项为1,公比为 的等比数列。
      ②   
联立①、②式消去 可得
        
推广:对于形如  
        
均可构造两个等比数列,从而得两个方程,然后通过解方程组求出通项
2:已知数列 满足 ,且 ,求数列 的通项公式。
解:由
   
则有   解得   或


是首项为5,公比为3的等比数列。
      ①

   
是首项为 ,公比为 的等比数列。
    ②
联立①、②式消去 可得
         
综上,对某些二阶递推数列,可通过构造两个等比数列,然后联立方程可求出通项 ,此方法能降低思维强度,简化推理和运算过程,学生也容易掌握,具有简捷、明快的特点。
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