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概率复习与小结
2014-06-13 23:07:53   来源:    点击:
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  1. 概率复习与小结
高一备课组  廖乐扬
教学目标:
通过复习,使学生在具体情景中:
1.了解随机事件发生的不确定性及频率的稳定性;
2.了解概率的某些基本性质和简单的概率模型;
3.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率;
4.能运用实验、计算器(机)模拟估计简单随机事件发生的概率;
5.培养学生的理性思维能力和辩证思维能力,增强学生的辩证唯物主义世界观.
教学重点:
求解一些简单古典概型、几何概型.
教学难点:
古典概型、几何概型的对比.
教学方法:谈话、启发式.
教学过程:
一、问题情境
1.回顾本章所涉及到的定义或概念.
2.说出你对这些定义或概念的理解及它们之间的区别和联系.
3.你能否用知识网络将它们联系起来.
二、学生活动
 
三、建构数学
随机事件注意点:
1.要搞清楚什么是随机事件的条件和结果. 
2.事件的结果是相应于“一定条件”而言的.因此,要弄清某一随机事件,必须明确何为事件发生的条件,何为在此条件下产生的结果. 
3.随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定,但是在大量重复试验的情况下,它的发生呈现出一定的规律性. 
概率注意点:
(1)求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验;
(2)只有当频率在某个常数附近摆动时,这个常数才叫做事件A 的概率;
(3)概率是频率的稳定值,而频率是概率的近似值;
(4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小;
(5)必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0.因此.   
四、数学运用
(一)随机现象
例1  指出下列事件中,哪些是不可能事件?哪些是必然事件?哪些是随机事件?
(1)若都是实数,则
(2)没有空气,动物也能生存下去;
(3)在标准大气压下,水在温度时沸腾;
(4)直线过定点
(5)某一天内电话收到的呼叫次数为0;
(6)一个袋内装有性状大小相同的一个白球和一个黑球,从中任意摸出1个球则为白球. 
(二)古典概型与几何概型的对比.
古典概型的概率公式:

几何概型的概率公式 

相同:两者基本事件的发生都是等可能的;
不同:古典概型要求基本事件有有限个,
        几何概型要求基本事件有无限多个.
例2 掷一颗均匀的骰子,求掷得偶数点的概率.
分析:先确定掷一颗均匀的骰子试验的样本空间Ω和掷得偶数点事件A,再确定样本空间元素的个数n,和事件A的元素个数m.最后利用公式即可.
解:掷一颗均匀的骰子,它的样本空间是
       Ω={1, 2,3, 4,5,6}
∴n=6
而掷得偶数点事件A={2,  4,6}
∴m=3
∴P(A) =
点评 枚举法是计算古典概型中事件的重要方法,同时也要能熟练地运用图表法和树形图对某些等可能事件进行列举,教材例3的图表法采用坐标系的形式,横、纵轴分别表示第一、二次抛掷后向上的点数,此表能清楚直观地表现出各种情况,树形图对于元素不多而又易于分类的计数问题很有效,例4中画出了三“树”,其实只要画出一个树即可推知其余两个树的情况.
例3 如图所示,在边长为1的正方形OABC内任取一点P(x,y).
(1)求点P到原点距离小于1的概率;
(2)求以x,y,1为边长能构成锐角三角形的概率.
解析(1)所有的点P构成正方形区域D,若点P到原点距离小于1,
x2+y2<1,(0<y<1,)
所以符合条件的点P构成的区域是圆
x2+y2=1在第一象限所围的平面部分.
∴点P到原点距离小于1的概率为:4(π)4(π)
(2)构成三角形的点P在△ABC内,若构成锐角三角形,则最大边1所对的角α必是锐角,
cosα=2xy(x2+y2-12)>0,x2+y2>1,
即点P在以原点为圆心,1为半径的圆外,
∴点P在边AB,BC及圆弧AC围成的区域内,
∴其概率为:12(·12)4(π)
答:点P到原点距离小于1的概率为4(π);以x,y,1为边长能构成锐角三角形的概率为1-4(π)
注: 解决几何概型问题,判断事件的等可能性这是易忽略点,其次要正确理解几何概型的含义:某一事件A发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,而与位置和形状无关系,这是易错之处.为防止错误发生,解决实际问题时,一定要按部就班,先判断是否为几何概型,再严格按照几何概型的计算方法求解,最后做出正确判断,防止想当然,凭直觉. 
  • 互斥事件
1.互斥事件概率的理解.
(1)互斥事件概率的加法公式,是在事件A和事件B互斥的前提下进行的.事件A、B互为对立事件的条件是:A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,且有P(A)+P(B)=1.
(2)对立事件一定是互斥事件,而互斥事件却不一定是对立事件,只有当两个互斥事件中有一个发生时,它才能成为对立事件.
(3)从集合的角度来看,若将总体看成全集U,将事件A看成由A所含的结果组成的集合,则A是U的子集,这时A的对立事件可看成是A的补集;判断两个事件是否为对立事件,首先要判断它们是否互斥;其次要确定它们中必定要有一个发生.
2.从正面解决问题较困难时,可转换思维视角从其反面考虑,即从事件的对立事件考虑,往往可以降低解题的难度,简化运算.此技巧为“正难则反”策略,此策略在互斥事件的概率中应用相当广泛和频繁,应引起我们足够的重视.
例4  一只蚂蚁在边长分别为3,4,5的三角形ABC区域内任意爬行,则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率是             . 
 
答:
 
 
 
(四)练习.
1.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的事件是                                          (    )
A.至少有1个白球和全是白球     B.至少有1个白球和至少有1个红球       
C.恰有1个白球和恰有2个白球   D.至少有1个红球和全是白球 
2.如果事件A,B互斥,那么                                (    )
   A.A+B是必然事件                B. 是必然事件
C. 一定互斥             D. 一定不互斥 
3.下列命题中,真命题的个数是                        (    )
   ①将一枚硬币抛两次,设事件A为“两次出现正面”,事件B为“只有一次出现反面”,则事件A与B是对立事件;
   ②若事件A与B为对立事件,则事件A与B为互斥事件;
 ③若事件A 与B为互斥事件,则事件A与B为对立事件;
 ④若事件A与B为对立事件,则事件A+B为必然事件.
   A.1             B.    2        C.3         D.4
4.甲,乙两人下棋,甲获胜的概率为40%,甲不输的概率为90%,则甲,乙两人下成和棋的概率为                                (    )
A.60%        B.30%       C.10%       D.50% 
5.某射击运动员在一次射击训练中,命中10环,9环,8环,7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28.则这名运动员在一次射击中:命中10环或9环的概率是__________,少于7环的概率是____________.
6.在区间[0,10]上任取一个数,求 x<3 或x>6的概率______.
7.有5张1角,3张2角和2张5角的邮票,任取2张,求其中两张是同价格的概率___________.
8.已知随机事件E为“掷一枚骰子,观察点数”,事件A表示“点数小于5”,事件B表示“点数是奇数”,事件C表示“点数是偶数”.
问:(1)事件A+C表示什么?(2)事件分别表示什么? 
9.我国已经正式加入WTO,包括汽车在内的进口商品将最多在5年内把关税全部降低到世贸组织所要求的水平,其中有21%的进口商品恰好5年关税达到要求,18%的进口商品恰好4年关税达到要求,其余的进口商品将在3年或3年内达到要求,求进口汽车在不超过4年的时间内关税达到要求的概率.
10.袋中有2个伍分硬币,2个贰分硬币,2个壹分硬币,从中任取3个,求总数超过7分的概率.
11.某公共汽车站每隔10分钟就有一趟车经过,小王随机赶到车站,则小王等车时间不超过4分钟的概率是________.
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容:
指导学生阅读有关资料,了解人类认识随机现象的过程.结合概率的教学,进行偶然性和必然性对立统一观点的教育.
让学生感受数学与现实世界的重要联系,崇尚数学的理性精神,逐步形成辨证的思维品质;养成准确、清晰、有条理地表述问题的习惯,提高学生的数学表达和交流的能力;进一步拓宽学生的视野,逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值.
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